Юрченко І.В., Ясинський В.К. Існування та єдиність розв’язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння з частинними похідними спеціального вигляду та методи його комп’ютерного моделювання // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. праць / Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова Національної академії наук України, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка; [редкол.: О.М. Хіміч (відп. ред.) та ін.]. Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2025. Вип.27.- С.84-103.- DOІ: 10.32626/2308-5878.2025-27.84-103. - Юрченко, Ігор Валерійович; Ясинський, Володимир Кирилович (Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова Національної академії наук України, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2025)
У статті досліджується задача Коші для стохастичного диференціально-функціонального рівняння з частинними похідними спеціального вигляду, яке описує динамічні процеси з пам’яттю під впливом випадкових збурень. Зокрема, вивчаються математичні умови, що гарантують існування та єдиність розв’язку такого рівняння. Теоретичні результати базуються на сучасному апараті стохастичного аналізу та функціонального диференціального числення. Оскільки розв’язання подібних рівнянь у загальному випадку не може бути отримано аналітично, у роботі розглянуто підходи до їх наближеного чисельного розв’язання. Описано дискретизацію простору та часу, а також способи апроксимації функціональних членів рівняння з використанням буфера пам’яті. Розглянуто реалізацію шумового впливу через додавання просторово-часового стохастичного збурення, змодельованого на основі вінерового процесу. Для перевірки теоретичних результатів і практичної ілюстрації динаміки процесів з пам’яттю розроблено комп’ютерну програму на мові Python, яка реалізує алгоритм розв’язання з використанням методу наближених обчислень Ейлера-Маруями. Розглянуто рівняння, що описує еволюцію системи з урахуванням просторового поширення (дифузії), згасання, впливу історії станів (ефект пам’яті) та випадкових збурень (шуму). Для наближеного розв’язання цього рівняння використовується дискретизація простору і часу та апроксимація інтегралу пам’яті як середнього по буферу попередніх значень. Побудовано графічну візуалізацію зміни стану системи в просторі та часі та теплову карту (heatmap), яка показує, як "розливається" і коливається функція у просторі та часі під впливом пам’яті та шуму. Отримані результати мають перспективу подальшого використання в теорії та практиці комп’ютерного моделювання складних динамічних систем з ефектами пам’яті та стохастичними збуреннями. Зокрема, розроблені підходи можуть бути застосовані до моделювання процесів у фізиці (теплопровідність із запізненням, дифузія в середовищах зі структурною пам’яттю), біології та екології (розповсюдження популяцій або інфекцій з інкубаційними періодами), фінансовій математиці (волатильність із залежністю від минулих станів), а також у технічних та інформаційних системах керування зі стохастичними впливами й запізненням сигналу.
This article investigates the Cauchy problem for a stochastic partial differential-functional equation (SPDFE) of a special form, which models dynamic processes with memory under the influence of random perturbations. In particular, we examine the mathematical conditions ensuring the existence and uniqueness of the solution. The theoretical results are based on modern tools of stochastic analysis and functional differential calculus. Since analytical solutions to such equations are generally unavailable, the paper explores approaches for approximate numerical solutions. We describe the discretization of space and time, and techniques for approximating the functional (memory-dependent) terms using a historical buffer. Stochastic perturbations are modeled as space-time noise based on the Wiener process. We developed a Python-based software implementation using the Euler–Maruyama method to validate the theoretical results and provide a practical illustration of memory-driven dynamics. The considered equation models the evolution of a system under spatial diffusion, damping, memory effects (via past state dependence), and stochastic noise. For the numerical solution, we use discretized approximations of the memory integral as an average over a buffer of previous values. A graphical visualization of the spatiotemporal evolution is constructed, including a heatmap that shows how the system state “spreads” and fluctuates under the combined influence of memory and noise. The results are promising for further applications in the theory and practice of computational modeling of complex dynamical systems with memory and stochasticity. In particular, the developed approaches may be applied in modeling processes in physics (heat conduction with delay, diffusion in memory-structured media), biology and ecology (population dynamics or epidemic spread with incubation delays), financial mathematics (volatility depending on past states), and technical or information control systems with stochastic effects and signal delays. Keywords: stochastic partial functional differential equations, existence of a solution, approximate solution, computer modeling of processes with memory.
Keywords: стохастичні диференціально-функціональні рівняння з частиними похідними; існування розв'язку; наближене розв'язання; комп'ютерне моделювання процесів з пам'яттю