Повторні ядра функції Гріна параболічних рівнянь типу Шилова зі змінними коефіцієнтами та від’ємним родом

Abstract

Поняття параболiчностi за Шиловим узагальнює поняття параболiчностi за Петровським рiвнянь з частинними похiдними та призводить до iстотного розширення вiдомого класу Петровського тими параболiчними рiвняннями, порядок яких вже може не збiгатися з показником параболiчностi. Таке розширення, взагалi кажучи, позбавляє параболiчної стiйкостi стосовно змiни коефiцiєнтiв параболiчних за Шиловим рiвнянь, яка є притаманною для рiвнянь з класу Петровського. У зв’язку з цим виникають iстотнi труднощi при дослiдженнi задачi Кошi для параболiчних за Шиловим рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами. У 60-х роках минулого столiття Я.I. Житомирський означив спецiальний клас параболiчних типу Шилова рiвнянь, який розширює клас Шилова i при цьому, є параболiчно стiйким до змiни молодших коефiцiєнтiв. Для цього класу вiн методом послiдовних наближень встановив коректну розв’язнiсть задачi Кошi в класi обмежених початкових функцiй скiнченної гладкостi. Однак для одержання загальнiших результатiв важливим є знання функцiї Грiна задачi Кошi. У данiй публiкацiї для параболiчних типу Шилова рiвнянь iз обмеженими гладкими змiнними коефiцiєнтами та вiд’ємним родом встановлено оцiнки повторних ядер функцiї Грiна задачi Кошi, якi дозволяють дослiдити властивостi густини об’ємного потенцiалу цiєї функцiї. Цi результати важливi для розбудови теорiї задачi Кошi для параболiчних типу Шилова рiвнянь класичними засобами функцiї Грiна.